Définition

Un triangle est une figure fermée plane à trois côtés rectilignes. C'est donc un polygone à trois côtés, que trois points non alignés (ses sommets ) suffisent à définir.

Typologie des triangles

Les triangles peuvent être classés de deux manières :

Triangles type
Triangles type

Suivant leurs symétries

En pratique, un triangle est symétrique quand il a des côtés égaux (ou des angles égaux, ce qui revient au même). Il peut étre :

Suivant leurs angles

Rappelons qu'un angle est :

Comme la somme de ses angles vaut 180 ° (ou radians), un triangle ne peut pas comporter deux angles droits ou obtus (ou plus!). Il a donc au moins deux angles aigus ; suivant la mesure de son troisiàme angle, il est :

Triangles particuliers


Triangle 3-4-5

C'est un triangle rectangle dont les côtés forment une progression (3, 4, 5). A un facteur multiplicatif entier près, c'est le seul triangle rectangle dont les trois côtés sont simultanément entiers ( Cela découle directement du théorème de Fermat-Wiles).

Triangle 30-60-90

C'est un triangle rectangle dont les angles font 30 °, 60 ° et 90 °, c'est-à-dire forment une progression (1, 2, 3). Ce triangle est parfois aussi appelé « triangle de l'écolier » ou « triangle hémi-équilatéral ». Cette dernière appellation se justifie en remarquant qu'un triangle équilatéral peut être coupé suivant un axe reliant l'un de ses sommets au milieu du côté opposé, pour donner deux triangles 30-60-90 égaux.

Demi-carré

Le découpage précédent peut se généraliser à tout triangle isocèle, à condition de couper suivant l'axe de symétrie. Les deux triangles rectangles obtenus peuvent être recollés le long de leur deux autres côtés adjacents à l'angle droit. A tout triangle isocèle obtusangle se trouve ainsi associé un triangle isocèle acutangle et vice-versa. Si le triangle de départ était rectangle, le triangle obtenu est alors identique, et les deux morceaux intermédiaires ont d'ailleurs eux aussi la même forme. Si ces derniers sont recollés suivant leur hypoténuse, on obtient un carré, d'où le nom de demi-carré donné à ces triangles.

Un demi-carré est donc un triangle isocèle et rectangle  ; les deux angles aigus d'un tel triangle valent 45 ° (ou /4 rad).

Définitions dérivées

On nomme un triangle en citant le nom de ses sommets, par exemple ABC. En général, pour nommer les longueurs des côtés, on utilise le nom de l'angle opposé, en minuscules : a  =  BC, b  =  AC, c  =  AB.

Objets géométriques liés aux triangles
Objets géométriques liés aux triangles

Cercles liés à un triangle

Par trois points non alignés passe un cercle et un seul.
Il existe donc un unique cercle passant par les trois sommets d'un triangle. Il est appelé cercle circonscrit au triangle. Le triangle est alors dit « inscrit » dans le cercle circonscrit.

Segments liés à un triangle

Remarque : les noms de hauteurs, médianes, médiatrices ou bissectrices désignent non seulement les segments indiqués ci-dessus, mais aussi les droites qui les supportent.

Propriétés en géométrie euclidienne

Voici quelques propriétés des triangles en géométrie euclidienne (ou géométrie plane).

La somme des angles d'un triangle est l'angle plat
La somme des mesures des angles
d'un triangle vaut 180°

ABC est la moitié d'un rectangle.

Le triangle rectangle est un demi-rectangle
Le triangle rectangle est un demi-rectangle

Si H est à l'intérieur de [ AC ], il divise le triangle en deux triangles rectangles ABH et HBC, il suffit d'additionner les aires. Si cette projection est à l'extérieur, on a deux triangles rectangles ABH et CBH, il suffit de soustraire leurs aires.

Il vérifie   GA = 2 GA'  , GB = 2 GB'   et GC = 2 GC'.

On sait que par trois points non-alignés, il passe un cercle et un seul. Il suffit ensuite de considérer les côtés deux à deux.

Les centres de tous les cercles tangents à deux droites sécantes sont sur la bissectrice
Les centres de tous les cercles tangents à deux droites sécantes
sont sur une des deux bissectrices

Les points d'une bissectrice sont à égale distance des deux côtés adjacents. Donc si l'on prend un point de la bissectrice et que l'on trace un cercle centré sur ce point et dont le rayon est la distance aux droites, ce cercle est tangent aux droites (le rayon est perpendiculaire à la tangente, c'est une des propriétés du cercle). On applique cette propriété aux angles deux à deux.

BC 2 = AC 2 + AB 2
Médiane de l'angle droit d'un triangle rectangle
Médiane de l'angle droit d'un triangle rectangle
Commençons par une démonstration purement géométrique :
Par définition de la médiane, M est le milieu de [ BC ].
Le triangle rectangle ABC est un demi-rectangle ABCD   .
Un rectangle est un parallélogramme, donc ses diagonales se coupent en leur milieu,
donc M, milieu de [ BC ], est aussi celui de [ AD ].
Les diagonales d'un rectangle sont de longueur égales, donc AD = BC  
et AM = AD / 2 = BC / 2 .
Cela peut aussi se démontrer en faisant appel aux vecteurs :
  et   ,   d'où :   ,
Ces deux derniers vecteurs sont orthogonaux, donc :     AM 2 = ( AB 2 + AC 2 )/4
D'autre part, en appliquant le théorème de Pythagore au triangle ABC, on obtient :   BC 2 = AB 2 + AC 2
Et finalement :   AM = BC / 2
Ceci permet de montrer que A, B et C se trouvent sur un cercle de centre M, et dont [ BC ] est un diamètre .
Polyegrave;dres à faces triangulaires
Polyèdres à faces triangulaires


Voir aussi