Un cercle est une figure géométrique plane, constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est le rayon du cercle. La surface délimitée par un cercle est un disque.
Dans un plan muni d'un repère orthonormé, le cercle trigonométrique est le cercle dont le centre est l'origine des axes du repère, et dont le rayon vaut 1. Ce cercle est appelé cercle unité.
On appelle
corde
un segment de droite dont les extrémités se trouvent sur le cercle.
Un
arc
est une portion de cercle délimitée par deux points.
On appelle
rayon
un segment de droite joignant le centre du cercle à un point du cercle. La longueur d'un rayon est évidemment le rayon r du cercle.
Un
diamètre
est une corde passant par le centre; c'est un segment de droite qui délimite le disque en deux parts de surfaces égales. Le diamètre est composé de deux rayons colinéaires ; sa longueur est 2×r.
Si l'on prend une corde de longueur l donnée et que l'on s'en sert pour délimiter une surface fermée, la surface ayant la plus grande aire est délimitée par un cercle. (Selon la légende de la fondation de Carthage, le souverain avait permis aux Phéniciens de fonder une ville dont le pourtour éait délimité par une peau de vache ; Didon en fit une grande lanière et choisit une forme circulaire pour avoir la plus grande surface.)
Cette propriété a des applications en optique géométrique : un rayon lumineux passant par le centre d'un miroir sphérique repart en sens inverse selon la même direction (on a une réflexion perpendiculaire au miroir). Si l'on met une ampoule au centre d'un miroir sphérique, la lumière est renvoyée de l'autre côté, ce qui permet par exemple de « rabattre » la lumière vers un miroir parabolique (principe du contre-miroir).
Tangente perpendiculaire au rayon
La médiatrice d'une corde passe par le centre
Triangle rectangle inscrit dans un cercle
Illustration de la relation entre les secteurs angulaires interceptant un même arc
Si M est un point et G est un cercle de centre O et de rayon R, alors, pour toute droite passant par M et rencontrant le cercle en A et B, on a MA × MB = |OM 2 - R 2 |. Cette valeur ne dépend pas de la droite choisie mais seulement de la position de M par rapport au cercle. On peut remarquer que
On appelle alors puissance du point M par rapport au cercle G le produit des mesures algébriques de MA et MB. Ce produit est indépendant de la droite choisie et vaut toujours OM 2 - R 2.
Cette propriété permet de vérifier que 4 points sont cocycliques : en effet, si ABCD sont 4 points, si (AB) et (BC) se coupent en M et si MA × MB = MC × MD (en mesures algébriques) alors les quatre points sont cocycliques.
Dans un plan muni d'un repère orthonormé, l'équation du cercle de centre C ( a, b ) et de rayon r est :
Cette équation est en fait une application du théorème de Pythagore pour le triangle rectangle formé par le point du cercle et sa projection sur les deux rayons parallèles aux axes ; l'équation du cercle trigonométrique est donc
Ceci donne l'équation cartésienne du cercle :
L'équation paramétrique du cercle est
soit pour le cercle trigonométrique