### Définition

Un triangle est une figure fermée plane à trois côtés rectilignes. C'est donc un polygone à trois côtés, que trois points non alignés (ses sommets ) suffisent à définir.

### Typologie des triangles

Les triangles peuvent être classés de deux manières :

Triangles type

#### Suivant leurs symétries

En pratique, un triangle est symétrique quand il a des côtés égaux (ou des angles égaux, ce qui revient au même). Il peut étre :

- « équilatéral » si tous ses côtés ont la même longueur (équivalent : si tous ses angles sont égaux) ;
- « isocèle » s'il a deux côtés de même longueur (équivalent : si deux de ses angles sont égaux) ;
- « scalène » si tous ses côtés sont de longueurs différentes.

#### Suivant leurs angles

Rappelons qu'un angle est :

- droit s'il vaut un quart de tour ou 90 ° ou /2 radians ;
- aigu s'il est plus petit qu'un angle droit, c'est-à-dire s'il vaut moins de 90 ° ;
- obtus s'il est plus grand qu'un angle droit, c'est-à-dire s'il vaut plus de 90 °.

Comme la somme de ses angles vaut 180 ° (ou radians), un triangle ne peut pas comporter deux angles droits ou obtus (ou plus!). Il a donc au moins deux angles aigus ; suivant la mesure de son troisiàme angle, il est :

- « rectangle » si cet angle est droit ; le côté opposé à l'angle droit est alors appelé « hypoténuse » ; les deux autres côtés sont dits « adjacents » à l'angle droit ;
- « obtusangle » (ou obtus ) si cet angle est obtus ;
- « acutangle » (ou aigu ) si cet angle est aigu (les trois angles sont alors aigus )...

### Triangles particuliers

#### Triangle 3-4-5

C'est un triangle rectangle dont les côtés forment une progression (3, 4, 5). A un facteur multiplicatif entier près, c'est le seul triangle rectangle dont les trois côtés sont simultanément entiers ( Cela découle directement du théorème de Fermat-Wiles).

#### Triangle 30-60-90

C'est un triangle rectangle dont les angles font 30 °, 60 ° et 90 °, c'est-à-dire forment une progression (1, 2, 3). Ce triangle est parfois aussi appelé « triangle de l'écolier » ou « triangle hémi-équilatéral ». Cette dernière appellation se justifie en remarquant qu'un triangle équilatéral peut être coupé suivant un axe reliant l'un de ses sommets au milieu du côté opposé, pour donner deux triangles 30-60-90 égaux.

#### Demi-carré

Le découpage précédent peut se généraliser à tout triangle isocèle, à condition de couper suivant l'axe de symétrie. Les deux triangles rectangles obtenus peuvent être recollés le long de leur deux autres côtés adjacents à l'angle droit. A tout triangle isocèle obtusangle se trouve ainsi associé un triangle isocèle acutangle et vice-versa. Si le triangle de départ était rectangle, le triangle obtenu est alors identique, et les deux morceaux intermédiaires ont d'ailleurs eux aussi la même forme. Si ces derniers sont recollés suivant leur hypoténuse, on obtient un carré, d'où le nom de demi-carré donné à ces triangles.

Un demi-carré est donc un triangle isocèle et rectangle ; les deux angles aigus d'un tel triangle valent 45 ° (ou /4 rad).

### Définitions dérivées

On nomme un triangle en citant le nom de ses sommets, par exemple ABC. En général, pour nommer les longueurs des côtés, on utilise le nom de l'angle opposé, en minuscules : a = BC, b = AC, c = AB.

Objets géométriques liés aux triangles

#### Cercles liés à un triangle

- Un théorème de géométrie plane affirme que :

  Par trois points non alignés passe un cercle et un seul.

  Il existe donc un unique cercle passant par les trois sommets d'un triangle. Il est appelé cercle circonscrit au triangle. Le triangle est alors dit « inscrit » dans le cercle circonscrit.

- De même, il existe un et un seul cercle contenu dans un triangle et tangent à ses trois côtés. Il est appelé cercle inscrit dans le triangle. Le triangle est alors « circonscrit » au cercle inscrit.

- Le cercle inscrit n'est pas le seul cercle tangent au triangle, c'est-à-dire à ses trois côtés. Si ces derniers sont prolongés, il apparait trois autres possibilités extérieures au triangle, les cercles exinscrits.

#### Segments liés à un triangle

- Un triangle a trois hauteurs, une par sommet. Si nous notons H le projeté orthogonal d'un sommet S sur son côté opposé (ou plus exactement sur la droite support de ce côté), alors la hauteur du sommet S est le segment SH ; il matérialise la distance « h » qui sépare ce sommet du côté opposé.

- Un triangle a trois médianes, une par sommet. Chaque médiane relie un sommet au milieu de son côté opposé.

- Un triangle a trois médiatrices, une par côt&eaucte;. La médiatrice d'un côté est la droite perpendiculaire à ce côté et passant par son milieu ; c'est aussi le lieu des points situés à égale distance des extrémités du côté.

- Un triangle a trois bissectrices, une par angle. La bissectrice d'un angle est la droite divisant le secteur angulaire en deux secteurs angulaires de même angle ; les points de la bissectrice sont à égale distance des côtés adjacents au sommet concerné.

Remarque : les noms de hauteurs, médianes, médiatrices ou bissectrices désignent non seulement les segments indiqués ci-dessus, mais aussi les droites qui les supportent.

### Propriétés en géométrie euclidienne

Voici quelques propriétés des triangles en géométrie euclidienne (ou géométrie plane).

- La somme des mesures des angles est égale à 180 ° (ou rad).

  Ceci se voit aisément en traçant les parallèles aux côtés en un point (ce qui est la démonstration d'Euclide dans ses Éléments, proposition I-32). On déduit ainsi que les angles d'un triangle équilatéral valent 60 ° (ou /3 rad).

La somme des mesures des angles
d'un triangle vaut 180°

- Si ABC est un triangle rectangle en A, et que b et c sont les longueurs des côtés adjacents à A, alors l'aire du triangle est b×c /2.

  ABC est la moitié d'un rectangle.

Le triangle rectangle est un demi-rectangle

- Si ABC est un triangle (quelconque), soit h la hauteur du triangle en B (la longueur du segment [ BH ], H étant le projeté orthogonal de B sur ( AC ) et b est la longueur du segment [ AC ], alors l'aire du triangle vaut B×h /2.

  Si H est à l'intérieur de [ AC ], il divise le triangle en deux triangles rectangles ABH et HBC, il suffit d'additionner les aires. Si cette projection est à l'extérieur, on a deux triangles rectangles ABH et CBH, il suffit de soustraire leurs aires.

- Les hauteurs issues des 3 sommets sont concourantes, et leur point de concours H est appelé orthocentre du triangle.

- Les 3 médianes ( AA' ) , ( BB' ) et ( CC' ) sont concourantes, et leur point de concours G est le centre de gravitédu triangle.

  Il vérifie GA = 2 GA' , GB = 2 GB' et GC = 2 GC'.

- Les médiatrices des 3 côtés sont concourantes, et leur point de concours O est le centre du cercle circonscrit.

  On sait que par trois points non-alignés, il passe un cercle et un seul. Il suffit ensuite de considérer les côtés deux à deux.

- Les bissectrices des 3 angles sont concourantes, et leur point de concours I est le centre du cercle inscrit.

Les centres de tous les cercles tangents à deux droites sécantes
sont sur une des deux bissectrices

  Les points d'une bissectrice sont à égale distance des deux côtés adjacents. Donc si l'on prend un point de la bissectrice et que l'on trace un cercle centré sur ce point et dont le rayon est la distance aux droites, ce cercle est tangent aux droites (le rayon est perpendiculaire à la tangente, c'est une des propriétés du cercle). On applique cette propriété aux angles deux à deux.

- Théorème de Pythagore : si l'on considère un triangle rectangle ABC rectangle en A, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés adjacents, soit :

  BC 2 = AC 2 + AB 2

Médiane de l'angle droit d'un triangle rectangle

- Dans un triangle ABC rectangle en A, si M est le milieu de l'hypoténuse [ BC ], la longueur de la médiane AM de l'angle droit vaut la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

  Commençons par une démonstration purement géométrique :
    Par définition de la médiane, M est le milieu de [ BC ].
    Le triangle rectangle ABC est un demi-rectangle ABCD .
    Un rectangle est un parallélogramme, donc ses diagonales se coupent en leur milieu,
    donc M, milieu de [ BC ], est aussi celui de [ AD ].
    Les diagonales d'un rectangle sont de longueur égales, donc AD = BC
    et AM = AD / 2 = BC / 2 .

  Cela peut aussi se démontrer en faisant appel aux vecteurs :
    et , d'où : ,
    Ces deux derniers vecteurs sont orthogonaux, donc : AM 2 = ( AB 2 + AC 2 )/4
    D'autre part, en appliquant le théorème de Pythagore au triangle ABC, on obtient : BC 2 = AB 2 + AC 2
    Et finalement : AM = BC / 2

  Ceci permet de montrer que A, B et C se trouvent sur un cercle de centre M, et dont [ BC ] est un diamètre .

Polyèdres à faces triangulaires

- Théorème des milieux : une droite passant par les milieux de deux des côtés (dite droite des milieux ) est parallèle au troisième côté ; c'est en fait un cas particulier de la réciproque du théorème de Thalès

  .

- En géométrie dans l'espace, trois points non alignés suffisent à définir un plan, donc un triangle situé dans ce plan. Le triangle est la forme des faces de nombreux polyèdres réguliers : tétraèdre (quatre faces, c'est la pyramide à base triangulaire), octaédre (huit côtés, les pyramides égyptiennes sont des demi-octaèdres), icosaèdre (vingt faces)...

### Voir aussi

- Cercles