### Définitions

Un cercle est une figure géométrique plane, constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est le rayon du cercle. La surface délimitée par un cercle est un disque.

Cercle de centre C et de rayon r dans un plan muni d'un repère orthonormé

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, le cercle trigonométrique est le cercle dont le centre est l'origine des axes du repère, et dont le rayon vaut 1. Ce cercle est appelé cercle unité.

Cercle trigonométrique : centré sur l'origine du repère et de rayon 1 ; définition du sinus et du cosinus

On appelle corde un segment de droite dont les extrémités se trouvent sur le cercle.
Un arc est une portion de cercle délimitée par deux points.
On appelle rayon un segment de droite joignant le centre du cercle à un point du cercle. La longueur d'un rayon est évidemment le rayon r du cercle.
Un diamètre est une corde passant par le centre; c'est un segment de droite qui délimite le disque en deux parts de surfaces égales. Le diamètre est composé de deux rayons colinéaires ; sa longueur est 2×r.

Définition d'objets géométriques liés au cercle

### Propriétés géométriques du cercle

#### Mesures

- Le périmètre (la circonférence) du cercle vaut 2× × r.
- L'aire du disque délimité par un cercle de rayon r vaut × r 2

Si l'on prend une corde de longueur l donnée et que l'on s'en sert pour délimiter une surface fermée, la surface ayant la plus grande aire est délimitée par un cercle. (Selon la légende de la fondation de Carthage, le souverain avait permis aux Phéniciens de fonder une ville dont le pourtour éait délimité par une peau de vache ; Didon en fit une grande lanière et choisit une forme circulaire pour avoir la plus grande surface.)

#### Tangente

- La tangente en un point du cercle est perpendiculaire au rayon en ce point.

  Cette propriété a des applications en optique géométrique : un rayon lumineux passant par le centre d'un miroir sphérique repart en sens inverse selon la même direction (on a une réflexion perpendiculaire au miroir). Si l'on met une ampoule au centre d'un miroir sphérique, la lumière est renvoyée de l'autre côté, ce qui permet par exemple de « rabattre » la lumière vers un miroir parabolique (principe du contre-miroir).

Tangente perpendiculaire au rayon

#### Médiatrice

- On peut montrer que la médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle.

  Ceci permet de trouver le centre d'un cercle : il suffit de tracer deux cordes non parallèles et de rechercher l'intersection de leurs médiatrices.

La médiatrice d'une corde passe par le centre

- On peut aussi montrer que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes et que le point de concours est le centre du cercle passant par les trois sommets, appelé cercle circonscrit au triangle.

#### Cercle et triangle rectangle

- Prenons trois points A, B et C distincts sur le cercle, dont deux « A et C » sont diamétralement opposés (c'est-à-dire sont les intersections du cercle avec un diamètre). Alors, ABC est un triangle rectangle en B.

  Ceci découle du fait que la médiane de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse (on a un rayon et un diamètre) ; ceci est une propriété du triangle appelé dans les pays anglo-saxon le théorème de Thalès.

Triangle rectangle inscrit dans un cercle

#### Angle inscrit, angle au centre

- Prenons deux points distincts A et B du cercle. O est le centre du cercle et C est un autre point du cercle. Alors, on a

  Pour l'angle au centre , il faut considérer le secteur angulaire qui intercepte l'arc opposé à l'arc contenant C. Cette propriété est utilisée dans les appareils d'analyse spectrale par dispersion de longueur d'onde, c'est la notion de cercle de focalisation ou cercle de Rowland.

Illustration de la relation entre les secteurs angulaires interceptant un même arc

#### Puissance d'un point par rapport à un cercle

Si M est un point et G est un cercle de centre O et de rayon R, alors, pour toute droite passant par M et rencontrant le cercle en A et B, on a MA × MB = |OM 2 - R 2 |. Cette valeur ne dépend pas de la droite choisie mais seulement de la position de M par rapport au cercle. On peut remarquer que

- si M est à l’extérieur du cercle, MA × MB = OM 2 - R 2
- si M est à l’intérieur du cercle , OM 2 - R 2 = - MA × MB . ce produit correspond au produit des mesures algébriques de MA et MB

On appelle alors puissance du point M par rapport au cercle G le produit des mesures algébriques de MA et MB. Ce produit est indépendant de la droite choisie et vaut toujours OM 2 - R 2.

Cette propriété permet de vérifier que 4 points sont cocycliques : en effet, si ABCD sont 4 points, si (AB) et (BC) se coupent en M et si MA × MB = MC × MD (en mesures algébriques) alors les quatre points sont cocycliques.

### Équations

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, l'équation du cercle de centre C ( a, b ) et de rayon r est :

  ( x-a ) 2 + ( y-b ) 2 = r 2

Cette équation est en fait une application du théorème de Pythagore pour le triangle rectangle formé par le point du cercle et sa projection sur les deux rayons parallèles aux axes ; l'équation du cercle trigonométrique est donc

  x 2 + y 2 = 1.

Ceci donne l'équation cartésienne du cercle :

  .

L'équation paramétrique du cercle est

  x = a + r × cos(Θ)
  y = b + r × sin(Θ)

soit pour le cercle trigonométrique

  x = cos(Θ)
  y = sin(Θ)

### Voir aussi

- Triangles